KAIDAH PENCACAHAN

A. PENDAHULUAN

Pada tahun 1654, seorang penjudi yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

B. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat

Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya.

Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.
Baju     : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut perhatikan uraian berikut:
 
Dari kedua cara tersebut menghasilkan  banyaknya pasangan celana dan baju  yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}
kedua cara tersebut bisa digunakan untuk menghitung dalam jumlah terbatas, untuk perhitungan yang lebih rumit dapat menggunakan aturan pengisian tempat sebagai berikut:

2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1

Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.

1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
       7!       7×6×5×4×3×2×1
3.  —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
       4!            4×3×2×1

Berikut simulasi menghitung faktorial:

3. Permutasi

Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.

5

x

4

x

3

Kotak (a) dapat diisi dengan 5 calon karena calonnya ada 5
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya.
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60.
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.

a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan  P(5.3) atau 5P3, sehingga:

5P3 = 5 × 4 × 3
      = 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
      = 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x ——————————
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

           n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =——————————————————————————
                                 (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

             n!
nPr =————
        (n – r)!
Perhatikan simulasi berikut!



Contoh 5:
Akan disusun berjajar bendera  negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu  berdampingan !
Penyelesaian:

Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!

Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!

Banyaknya cara = 5! x 2!
                            = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 240 

b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M  ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2
                               4!
unsur sama ditulis: ——
                               2!

Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
            n!
 P = ————
         k! l! m!

Perhatikan simulasi berikut!

Contoh 6:
Berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:

MATEMATIKA
Banyak huruf =10
banyak M = 2
banyak A =3
banyak T = 2
            10!          10 x 9 x 8 x 7 x 6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1
 P = ———— = —————————————————
         2! 3! 2!               2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1

        3628800
 P = ———— = 151200
           24              

Banyaknya kata yang dapat dibentuk ada 151200 kata

c. Permutasi Siklis
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka  dapat duduk mengelilingi meja tersebut?

Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?


Dari gambar 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Dari gambar 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:
         
  P= (n - 1)!

Perhatikan simulasi berikut!


Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?

Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!

Banyaknya cara = 6! x 2!
                            = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 1440

4. Kombinasi
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi  = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
                     Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
                   = 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
                   = 3 karena urutan tidak diperhatikan
                           6         permutasi
Kombinasi = 3 =—— = ——————
                           2                2

Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
            3P2              3!
3C2 = —— = ————
           2       2! (3 − 2)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil  r unsur
                             n
ditulis  dengan C  atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
                             r

              P                 n!
nCr =———— = ————
            r!           (n - r)! r!

Perhatikan simulasi berikut!

Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih memahami tentang kombinasi.
Contoh 8:
1. Hitunglah nilai dari:
    a. 8C4
    b. 6C2 × 4C3
Penyelesaian:
                 8!              8!        8 x 7 x 6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1
a. 8C4 =————  =———  =———————————— = 70
             (8 - 4)! 4!    4! 4!     4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1

                          6!                4!        6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1    4 x 3 x 2 x 1
b. 6C2 × 4C3 =————  x ———— =—————————  x —————= 70
                     (6 - 2)! 2!  (4 - 3)! 3!  4 x 3 x 2 x 1 x  2 x 1    1 x 3 x 2 x 1

Contoh 9: Perhatikan video berikut!



Penyelesaian:
               10!               
10C3 =—————
         (10 - 3)! 3!

               10!               
           =—————
            7! 3!

          10 x 9 x 8 x 7! 
           =——————
          7! 3 x 2 x 1

           720
           =———
             6 
   
      = 120

Contoh 10:
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

                 8!          8 . 7 . 6 !     56
     8C2 =———— = ———— = —— = 28
           (8 - 2)! 2!     6! . 2. 1       2


b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

                 6!          6 . 5 . 4 !     30
     6C2 =———— = ———— = —— = 15
           (6 - 2)! 2!     4! . 2. 1       2

c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:

                        8!                 6!           8!        6!
     8C1 x 6C1 =———— x ———— = —— x —— = 8 x 6 = 48
                    (8 - 1)! 1!   (6 - 1)! 1!      7!        5!


Contoh 11:
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara  memilih 4 putra 1 putri =7C4  . 3C1
Banyak cara  memilih 3 putra 2 putri =7C3  . 3C2

Banyak cara = 7C5  + 7C4  . 3C1  + 7C3  . 3C2     

                              7!               7!                3!                7!               3!
                      = ———— + ———— x ————  + ———— x ————
                         (7 - 5)! 5!   (7 - 4)! 4!    (3 - 1)! 1!    (7 - 3)! 3!    (3 - 2)! 2!

                
                          7 . 6 . 5!     7 . 6 . 5 . 4!   3 . 2 . 1    7 . 6 . 5 . 4!     3 . 2 . 1
                      = ———— + ————— x ———  + ————— x ————
                         2 . 1 . 5!      3 . 2 . 1 . 4!      2 . 1      4! . 3 . 2 . 1      2 . 1

                      = 105 + 105 + 21 = 231

Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara